ementas

Superfícies de Riemann (I - MAT2815, II - MAT2816)

A teoria das superfícies de Riemann ocupa um lugar muito especial na matemática. É o culminar de muito da análise (e cálculo) tradicional, fazendo conexões surpreendentes com a geometria e a aritmética. É uma parte extremamente útil da matemática, cujo conhecimento é necessário para os especialistas em muitas outras áreas. Fornece um modelo para um grande número de desenvolvimentos mais recentes em áreas que incluem topologia das variedades, análise global, geometria algébrica, geometria Riemanniana e diversos tópicos em física matemática.

Cursos relacionados de http://www.mat.puc-rio.br/en/syllabi#graduate-program

MAT2815 - Superfícies de Riemann I

Ementa

Definição de superfície de Riemann. Aplicações holomorfas e suas propriedades. Cartas isotérmicas. Construção de superfícies de Riemann. Superfície de Riemann de uma equação algébrica. Estruturas conformes. Recobrimentos ramificados. Fórmula de Hurwitz. Relação de Riemann. Continuação analítica. Teorema da uniformização, demonstração e exemplos: o disco unitário como recobrimento universal da esfera menos três pontos. Superfícies de Riemann como quociente de seu recobrimento universal, teorema de Koebe–Poincaré. Estruturas conformes sobre o toro. Função P de Weierstrass e outras funções elípticas. Estruturas conformes sobre anéis. Grande teorema de Picard.

Bibliografia básica:

1. Ahlfors, L. Conformal Invariants. McGraw-Hill 1973.
2. Sá Earp, R.; Toubiana, E. Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann. Cassini, 2009.
3. da Costa, C.J. Funções elípticas, algébricas e superfícies mínimas. 18.o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1991.

MAT2816 - Superfícies de Riemann II

Ementa

Feixes. Funções algébricas. Grupo fundamental e (co)homologia singular das superfícies de Riemann compactas. Monodromia. Curvas algébricas. Divisores, fibrados em retas, fibrado canônico. Sistemas lineares, aplicações no espaço projetivo. Coomologia de feixes, teoremas de finitude. Teorema de Dolbeault. Dualidade de Serre. Teorema de Riemann–Roch. Formas harmônicas. Anulamento da coomologia, fibrados em retas amplos, imersão no espaço projetivo. Curvas hiperelípticas. Grupo de Picard. Jacobiana. Teorema de Abel. Teorema de Jacobi. Aplicações às curvas algébricas e as suas Jacobianas.

Bibliografia básica:

1. Foster, O. Lectures on Riemann Surfaces, Springer–Verlag, 1981
2. Narasimhan, R. Compact Riemann Surfaces, Birkhäuser, 1996.
3. Miranda, R. Curvas Algébricas e Superfícies Riemann, American Mathematical Society, 1995.

Bibliografia adicional:

1. Gunning, R.C. Lectures on Riemann Surfaces, Princeton University Press, 1966.

Bibliografia neste curso

Seguiremos

• Simon Donaldson: Riemann Surfaces. 256 páginas. Oxford textos de graduação em matemática, 22. (2011)

Ver https://www.maa.org/press/maa-reviews/riemann-surfaces

Preliminares: variável complexa. Veja e.g. o seguinte livro texto para introdução em linguagem moderna no nível de pós:

• Carlos A. Berenstein, Roger Gay: Complex variables: an introduction. Graduate Texts in Mathematics 125. Springer. 650pp. 1991. ISBN 3-540-97349-4

Também veja bibliografia de MAT2815 e MAT2816 acima.

Sobre o livro texto de Simon Donaldson

Este texto de (pós-)graduação sobre a teoria de superfície de Riemann prova os resultados analíticos fundamentais sobre a existência de funções meromórficas e o Teorema da Uniformização. A abordagem adotada enfatiza os métodos de EDP, aplicáveis de forma mais geral na análise global. A conexão com a topologia geométrica, e em particular o papel do grupo de classes de mapeamento, também é explicada. Para este fim, alguns tópicos mais sofisticados foram incluídos, em comparação com os textos tradicionais neste nível. Embora o tratamento seja novo, as raízes do assunto no cálculo tradicional e na análise complexa são mantidas bem em mente.

A Parte I estabelece a interação entre análise complexa e topologia, com esta última tratada informalmente. A Parte II funciona como um primeiro curso rápido da teoria da superfícies de Riemann, incluindo curvas elípticas. O núcleo do livro está contido na Parte III, onde os resultados analíticos fundamentais são provados. Seguindo esta seção, o restante do texto ilustra várias facetas da teoria mais avançada.

Prerrequisitos e um possível desenvolvimento do(s) curso(s).

O nível matemático varia bastante à medida que o livro avança. O tratamento nas Partes I, II, III é destinado a estudantes iniciantes de pós-graduação com um background razoável em topologia geral e análise real e complexa.

As provas devem ser, em sua maioria, escritas em todos os detalhes.

Há muito mais material no livro que pode ser abordado em um único curso de palestras. Com um público bem preparado, em cerca de 30 palestras, parece possível cobrir a maioria das Partes I, II e III em detalhes e, em seguida, esboçar uma seleção da Parte IV. Por outro lado, se for necessário desenvolver material fundacional como o Capítulo 5 em detalhes, então é provavelmente realista chegar ao Capítulo 9.

Para o DMAT PUC-Rio o livro corresponde a dois cursos de pós-graduação semestrais, 3 créditos cada: Superfícies de Riemann I (MAT2815) e Superfícies de Riemann II (MAT2816), com o ponto de demarcação em algum lugar em torno de Capítulos 8-9, mas com espírito e material de geometria/topologia extra em seu tratamento.

Conteúdo

• I Preliminares
  1. Funções Holomórficas: Exemplos simples: funções algébricas. Continuação analítica: equações diferenciais.
  2. Topologia das superfícies: Classificação das superfícies. O grupo de classes de mapeamento.
• II Teoria Básica
  1. Definições básicas: Superfícies de Riemann e mapas holomorfos. Exemplos: primeiros exemplos, curvas algébricas, quocientes.
  2. Mapas entre as superfícies de Riemann: Propriedades gerais. Monodromia e Teorema da Existência de Riemann. Digressão em topologia algébrica. Monodromia de mapas de cobertura. Compactação de curvas algébricas. A superfície de Riemann de uma função holomorfa. Quocientes.
  3. Calculo sobre as superfícies: i. Superfícies lisas: espaços cotangentes e 1-formas; 2-formas e integração. ii. Cohomologia de De Rham: definição e exemplos; cohomologia com suporte compacto, e dualidade de Poincaré. iii. Cálculo sobre superfícies de Riemann: decomposição das 1-formas; o operador de Laplace e funções harmônicas; a norma de Dirichlet.
  4. Funções e integrais elípticas: Integrais elípticas. A função P de Weierstrass. Outros tópicos: funções teta, classificação.
  5. Aplicações da característica de Euler: A característica de Euler e as formas meromórficas. Aplicações: A fórmula de Riemann-Hurwitz, a fórmula de grau-gênero, estruturas reais e a cota de Harnack, curvas modulares.
• III Teoria Mais Profunda
  1. Funções Meromórficas e o Teorema Principal das Superfícies de Riemann Compactas: Conseqüências do Teorema Principal. A fórmula de Riemann-Roch.
  2. Prova do Teorema Principal: Discussão e motivação. O Teorema da Representação de Riesz. O coração da prova. O Lemma de Weyl.
  3. O Teorema da Uniformização
• IV Desenvolvimentos adicionais
  1. Contrastes na Teoria da Superfície de Riemann:
  • Aspectos algébricos: corpos de funções meromórficas, valorações, conexões com a teoria dos números algébricos.
  • Superfícies hiperbólicas: definições, modelos do plano hiperbólico, auto-isometrias, superfícies hiperbólicas, geodésicas, o teorema de Gauss–Bonnet, hexágonos de ângulos retos, geodésica fechada.
    1. Divisores, Fibrados em Retas e Jacobianas:
  • Cohomologia e fibrados em retas: feixes e cohomologia, fibrados em retas, feixes em retas e imersão no espaço projetivo, divisores e fatoração única.
  • Jacobianas das Superfícies de Riemann: o Teorema de Abel-Jacobi, teoria abstrata, geometria de produtos simétricos, observações na direção da topologia algébrica e digressão em geometria projetiva.
    1. Módulos e deformações: Estruturas quase complexas, diferenciais de Beltrami e o teorema da integrabilidade. Deformação e cohomologia.
    2. Mapeamentos e Módulos:
  • Diffeomorfismos do plano.
  • Tranças {braids}, torções {twists} de Dehn e singularidades quadráticas: classificação dos recobrimentos ramificados, monodromia e torções de Dehn, curvas planas.
  • Geometria hiperbólica.
  • Compactação do espaço de moduli: colarinhos e cúspides.
    1. Equações diferenciais ordinárias:
  • Mapeamento de conformidade.
  • Períodos de formas holomorfas e equações diferenciais ordinárias: a equação hipergeométrica, a conexão de Gauss–Manin, pontos singulares.