ementas

Variável complexa / Complex variable

• Introdução às funções de variável complexa. MAT1510 / Introduction to complex analysis. MAT1510
• Variável complexa. MAT2502 / Analysis in one complex variable. MAT2502

Ementa UG

Números complexos. Definição e propriedades das funções elementares: potências, exponenciais, logaritmo e funções trigonométricas. Funções analíticas. Equações de Cauchy–Riemann. Integração, funções definidas por integrais. Fórmula de Cauchy. Teoremas do Módulo Máximo. Teorema Fundamental da Álgebra. Séries de Taylor e de Laurent. Classificação das singularidades. Teorema do resíduo. Cálculo de integrais.

UG syllabus

Complex numbers. Definition and properties of elementary functions: power, exponential, logarithm and trigonometric complex functions. Analytic functions. Cauchy–Riemann equations. Integration. Cauchy formula. Maximum modulus principle. The fundamental theorem of algebra. Taylor and Laurent series. Classification of singularities. The residue theorem.

Ementa PG

Derivada complexa; equações de Cauchy–Riemann. Séries de potencias; funções analíticas. Integrais de linha complexas. Índice de uma curva, homotopia. Teorema de Cauchy; formula integral de Cauchy; curvas homólogas. Teoremas de Morera e Goursat. Polos. Series de Laurent. Resíduos. Esfera de Riemann; funções meromorfas. Teorema do módulo máximo. Lema de Schwartz. Aplicações de Möbius; cross-ratio. Famílias normais, teorema de Montel. Teorema da aplicação de Riemann. Tópicos adicionais.

PG syllabus

Complex derivative; Cauchy–Riemann equations. Power series; analytic functions. Complex line integrals. Index of a curve, homotopy. Cauchy’s theorem; Cauchy’s integral formula. Homologous curves. Morera and Goursat’s theorems. Poles. Laurent series. Residuals. Riemann sphere; meromorphic functions. Maximum modulus theorem. Schwartz lemma. Möbius mappings; cross-ratio. Normal families, Montel’s theorem. Riemann mapping theorem. Additional topics.

Bibliografia livre / Free bibliography

• complex-analysis.com by Juan Carlos Ponce Campuzano, English and Spanish versions of “Complex Analysis. A Visual and Interactive Introduction” / “Análisis complejo. Una introducción visual e interactiva”, 2019–2024
• https://realnotcomplex.com/analysis/complex-analysis Veja essa página para livros embaixo e mais recursos livres.
• Matthias Beck, Gerald Marchesi, Dennis Pixton, and Lucas Sabalka: A First Course in Complex Analysis. https://matthbeck.github.io/complex.html Corresponds to undergraduate material.
• Robert B. Ash and W. P. Novinger: Complex Variables. First five chapters are close to PG material. Last chapter (7) is an application of complex analysis: properties of Riemann’s zeta-function and a proof of Prime Number Theorem, original analytic proof is by Hadamard and Valleé Poussin, the textbook presents a simpler analytic proof by Newman, as modified by Korevaar.
• Richard Koch: Complex Variables. https://pages.uoregon.edu/koch/ComplexVariables.pdf First 13 chapters (125 pages) correspond approximately to PG course. The book has 30 chapters and 480 pages, with the later chapters about Riemann’s zeta function, Dirichlet series and his theorem on primes in arithmetic progressions, elliptic integrals, modular forms, theta functions, Riemann surfaces and Riemann–Roch theorem.

Bibliografia básica para PG / Basic PG bibliography

• Gamelin, T. W. Complex analysis. Springer, 2001;
• Conway, J. B. Functions of one complex variable I. Springer; 2nd edition (1978);
• Needham, T. Visual complex analysis. Oxford, 1999.

Bibliografia para graduação / UG bibliography

Básica:

• Soares, M. Cálculo em Uma Variável Complexa; Rio de Janeiro: Coleção Matemática Universitária IMPA, 2001.
• Ávila, G. Funções de uma variável complexa; Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.
• Rodrigues, Cícero Mauro Fialho. Teoria das funções de uma variável complexa; Rio de Janeiro: L. E. Vitte, 1979.

Complementar

• Lima, E. L. Curso de Análise. Vol. I.; Rio de Janeiro: Projeto Euclides IMPA, 1995.
• Boas, R. P. A Primer of real functions. 2. ed.; Buffalo: Mathematical Association of America, 1972.
• Ávila, G. Introdução à Análise Matemática; São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 1999.
• Lins Neto, A. Funções de uma variável complexa; Rio de Janeiro: IMPA, 1996.
• Conway, J. B. Functions of One Complex Variable I. 2a edição; New York: Springer, 1978.

Pré-requisitos (graduação)

MAT1604 ou MAT1605 (introdução à análise / introduction to analysis)